上节着重讨论晶体的宏观对称性,它是由原子构成的晶格的对称性的宏观表现,所以只是部分地反映了晶格结构本身的对称性.

\begin{note}
    由于晶格可以通过平移填满空间, 所以上面介绍的对称性是一个晶格的对称性, 也是由这种
    晶格组成的单晶的对称性,故而称为宏观对称性.
\end{note}

这一节着重讨论晶格的对称性,扼要介绍一些有关的概念和基本知识.
\subsection{14种布拉维格子和7个晶系}

前面一节指出,由于任何晶格都具有由一定布拉维格子所表征的基本周期性,从而可以导出宏观对称所可能具有的类型——32个点群.

现在我们反过来提出问题：晶体如果具有一定的宏观对称，它必须具有怎样的布拉维格子？也就是说，一个布拉维格子
如果要具有一定的点群对称, $a_1, a_2, a_3$必须满足怎样的要求?
具体分析证明,根据32个点群对布拉维格子的要求,布拉维格子总共可以分为7类,称为7个晶系.
例如, $C_1, C_i$对$a_1, a_2, a_3$完全没有任何要求；
这种$a_1, a_2, a_3$的长度和方向完全没有规则的布拉维格子自成一个晶系,称为三斜晶系,这个晶系具有$C_1, C_s$对称.
另外一个极端是对称性最高的几个点群: $T, T_d, T_h, O$和$O_h$,它们对布拉维格子的要求是相同的,
能满足这样要求的布拉维格子有简单立方、体心立方和面心立方三种,称为立方晶系.我们在表1-1具体列出属于各晶系的各种布
拉维格子，以及它们所满足的点群对称

前面曾经一般地指出，晶体学中根据对称性对各种布拉维格子都确定了标
准的单胞和基失。我们看到，布拉维格子按宏观对称分属于7个晶系，因此，晶
体学单胞也是按晶系确定的，它们已具体表示在表1-1和图1-20中单斜、正
交、四方、立方晶系都由于可以在单胞中增加体心、面心或底心格点，包含着不
止一种布拉维格子，使7个晶系共有14种布拉维格子。显然，凡有体心、面心或
底心的情形，单胞与原胞是不同的.

\begin{tabular}{cccc}
    \toprule
    晶系   & 单胞基矢的特性                                                                               & 布拉维格子              & 所属点群                   \\
    \midrule
    三斜晶系 & \begin{tabular}{c}
               $a_1\neq a_2\neq a_3$ \\
               夹角不等
           \end{tabular}                                                              & 简单三斜               & $C_1, C_i$                        \\
    单斜晶系 & \begin{tabular}{c}
               $a_1\neq a_2\neq a_3$ \\
               $a_2\perp a_1, a_3$
           \end{tabular}                                                              & \begin{tabular}{c}
                                                                                            简单单斜 \\
                                                                                            底心单斜
                                                                                        \end{tabular} & $C_2, C_s, C_{2h}$                     \\
    正交晶系 & \begin{tabular}{c}
               $\boldsymbol{a}_1\neq \boldsymbol{a}_2\neq \boldsymbol{a}_3$ \\
               $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$互相垂直
           \end{tabular}  & \begin{tabular}{c}
                                简单正交 \\
                                底心正交 \\
                                体心正交 \\
                                面心正交
                            \end{tabular} & $D_2, C_{2v}, D_{2h}$                                                   \\
    三角晶系 & \begin{tabular}{c}
               $\boldsymbol{a}_1=\boldsymbol{a}_2=\boldsymbol{a}_3$ \\
               $\alpha=\beta=\gamma<120^{\circ} \neq90^{\circ}$
           \end{tabular}          & 三角                 & $C_3, C_3, D_3, C_{3v}, D_{3d}$                                                       \\
    四方晶系 & \begin{tabular}{c}
               $\boldsymbol{a}_1=\boldsymbol{a}_2\neq \boldsymbol{a}_3$ \\
               $\alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$
           \end{tabular}   & \begin{tabular}{c}
                                 简单四方 \\
                                 体心四方
                             \end{tabular} & \begin{tabular}{c}
                                                 $C_4, C_{4h}, D_4, C_{4v}$, \\
                                                 $D_{4h}, S_4, D_{2d}$
                                             \end{tabular}                         \\
    六角晶系 & \begin{tabular}{c}
               $\boldsymbol{a}_1=\boldsymbol{a}_2\neq \boldsymbol{a}_3$   \\
               $\boldsymbol{a}_3\perp \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$ \\
               $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$夹角$120^{\circ}$
           \end{tabular} & 六角                 & \begin{tabular}{c}
                                                    $C_6, C_{6h}, D_6, C_{6v}$ \\
                                                    $D_{6h}, C_{3h}, D_{3h}$,
                                                \end{tabular} \\
    立方晶系 & \begin{tabular}{c}
               $a_1=a_2=a_3$ \\
               $\alpha=\beta=\gamma=90^{\circ}$
           \end{tabular}                                                      & \begin{tabular}{c}
                                                                                    简单立方 \\
                                                                                    体心立方 \\
                                                                                    面心立方
                                                                                \end{tabular} & $T, T_h, T_d, O, O_h$                          \\
    \bottomrule
\end{tabular}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/14BravaisPlaids20240820230908.jpg}
    \caption{14种布拉维格子\label{fig:14BravaisPlaids20240820230908}}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/Bottom-CenteredTriclinicUnitCell20240820174749.jpg}
    \caption{底心三斜晶胞\label{fig:Bottom-CenteredTriclinicUnitCell20240820174749}}
\end{figure}
表面看起来，似乎还可以靠增加体心、面心、底心得到一些新的格子。实际
上仔细考查一下，就会发现，这样做的结果或者仍属于14种格子之一，或者得
到的并不是一个布拉维格子.

\begin{note}
    如\figref{fig:Bottom-CenteredTriclinicUnitCell20240820174749}所示的"底心三斜"晶胞,
    其实际上等价于另一个三斜晶胞. 所以不存在底心三斜晶胞.
\end{note}

\subsection{空间群}

由于晶体的宏观性质只依赖于方向，与绝对位置无关，因此，分析宏观对称
性只需要考虑转动（或转动十反演），不需要特别考虑平移。而全面分析晶格结
构的对称性必须考虑平移,所以用来概括晶格全部对称的是(转动十平移)对称操作所构成的所谓"空间群".下面只做很简单的介绍.

在简单格子的情况，它的对称性基本上就归结为，由平移对称操作（布拉维格子）
\begin{equation*}
    \boldsymbol{t}_{l_1l_2l_3}=l_1\boldsymbol{a}_1+l_2\boldsymbol{a}_2+l_3\boldsymbol{a}_3
\end{equation*}

所表征的平移周期性,以及所属晶系的转动对称性.如果, $R$表示该晶系的点群对称操作,则它的一般对称操作可以写成:
\begin{equation*}
    \left(R \mid t_{t_1l_2l_3}\right),
\end{equation*}
表示环绕格点进行$R$,然后平移$t_{l_1l_2l_3}$,,这样由点群对称操作和平移对称操作组合成的群称为点空间群。

有些复式晶格的对称性也可以由点空问群概括.以ZnS晶格为例,它的布拉维格子是面心立方,属于立方晶系.
所容许最高的点群对称是$O_h$.但是,具休考查环绕一个格点的转动,例如,环绕Zn转动,固然对所有$O_h$操作,
Zn格子都将复原,但在四面体顶点的$S$只有在$T_d$点群操作下才保持不变.因此,它的点群对称是$T_d$,
晶格的对称操作可以写成

\begin{equation*}
    \left(R \mid \boldsymbol{t}_{1,2,2,}\right),
\end{equation*}

其中$R$为环绕格点的$T_d$群操作, $t_{l_1l_2l_3}$,表示面心立方的平移对称操作.
实际上所有原胞中各原子性质互不相同的复式唱格,都和ZnS品格相似,
可以由点群对称和布拉维格子表征的平移对称组合成的点空间群表征.
和简单晶格的差别在于,复式晶格的点群对称,并不完全由晶系决定,属于相同品系的复式品格可以有不同的点群对称.
例如, NaCl和ZnS都具有面心立方的布拉维格子,同属立方晶系,但前者属立方点群,后者属于四面体群,
因此,在有些宏观性质上,有根本的差别.

具体的分析表明,共有73种不同的点空间群。
复式品格原胞中如有性质相同的原子,它的对称操作可以具有更一般的形式:
\begin{equation*}
    (R \mid t),
\end{equation*}
其中$R$仍旧表示绕一个格点的点群操作,但$t$不一定是一个平移对称操作.
对比ZnS和金刚石就可以了解为何有上述区別。它们都可以看成由$A$和$B$两个面心立方格子相互穿套组成.
在ZnS的情况, $A$格子上为Zn, B格子上为S，但在金刚石的情况，$A, B$格子上都是碳原子。
因此对于ZnS品格。对称操作必须使$A$格子与$B$格子各自保持不变, 而对于金刚石结构,
除此以外还存在有使$A$格子与$B$格子互换的对称操作.具体分析证明,对于ZnS晶格, $R$只限于四面体点群操作,
绕$A$格点操作后, $A, B$格子各自保持不变,平移$t$必须是一个布拉维格子的位移
$t_{l_1l_2l_3}$ ，对于金刚石结构，当$R$是立方点群中不属于四面体点群的操作时.
绕$A$格点操作后, $A$格子保持不变, $B$格子并不能复原,但只要把整个唱格平移立方对角线的$1/4$,
就能使$A$格子移人原来$B$格子的位疽,同时,使$B$格子移人$A$格子的位置.由于两格子上都是同一种原子,
这也相应于一个对称操作.这时的平移$t$并不是平移对称操作,因此,从宏观对称来看,金刚石具有立方点群$O_h$对称,
和ZnS的四面体点群$T_a$对称不同.金刚石的对称操作可以写成
\begin{equation*}
    \left(R \mid \boldsymbol{\tau}_R+\boldsymbol{t}_{l_1l_2l_3}\right)
\end{equation*}

其中$R$为立方点群操作, $t_{l_1l_2l_3}$为面心立方格子的平移,对属于四面体点群的各操作$R, \tau_R$为0,
对其余的$R$为沿对角线平移$1/4$ 。

金刚石和NaCl对比,它们的宏观对称性是相同的( $O_h$点群),而且,都具有面心立方的布拉维格子.
尽管如此,它们的晶格的对称性是不同的, NaCl的对称操作中对所有$R, \tau_R$皆为0。

不同的空间群共230个（其中73个是点空间群），也就是说，所有的晶格结构,就它的对称性而言,
共有230个类型,每一类由一个空间群描述.

\section{晶向和晶面}
\begin{definition}[][晶列和晶向]
    \textbf{Crystal alignment and orientation}\quad 布拉维格子
    的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线系上,这些直线系称为晶列。
    同一个格子可以形成方向不同的晶列、每一个晶列定义了一个方向,称为晶向.
    如果从一个原子沿晶向到最近的原子的位移矢量为
    \begin{equation*}
        l_1a_1+l_2a_2+l_3a_3,
    \end{equation*}
    则晶向就用$l_1, l_2, l_3$来标志,写成$\left[l_1l_2l_3\right]$.
\end{definition}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figure/CrystalOrientation20240820235247.jpg}
    \caption{晶向\label{fig:CrystalOrientation20240820235247}}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/CrystalFace20240820235311.jpg}
    \caption{晶面\label{fig:CrystalFace20240820235311}}
\end{figure}
\begin{definition}[][晶面]
    \textbf{crystal face}\quad 布拉维格子的格点还可以看成分列在平行等距的平面系上.这样的平面称为晶面.
    和晶列的情况相似,同一个格子可以有无穷多方向不同的晶面系
\end{definition}

，图1-12以简单立方为例画出了三个方向不同的晶面.
\begin{definition}[][米勒指数]
    \textbf{Miller index}\quad 具体讨论晶体问题时，常常要谈到某些具体晶面，因此，
    需要有一定的办法标志不同的晶面.常用的是所谓米勒指数.米勒指数可以这样来确定：
    设想选一格点为原点并作出沿$a_1, a_2, a_3$的轴线。我们注意。
    所有格点都在晶面系上,所以必然有一晶面通过原点,其它晶面既然相互等距,将均匀切割各轴.
    如果,我们从原点顺序地考查一个个面切割第一轴的情况，
    显然必将遇到一个面切割在$+a_1$或$-a_1$,因为在士$a_1$存在着格点.
    假使,这是从原点算起的第$h_1$个面,那么晶面系的第一个面的截距必然是$\pm a_1$的分数,可以写成
    \begin{equation*}
        \boldsymbol{a}_1/ h_1,
    \end{equation*}
    $h_1$为正或负的整数.同样可以论证第一个面在其它两个轴上的截距将为
    \begin{equation*}
        a_2/ h_2\text {和} a_3/ h_3\quad\left(h_2, h_3\text {是整数}\right) \text {. }
    \end{equation*}
    平常就是用$\left(h_1, h_2, h_3\right)$来标记这个晶面系,称为米勒指数.
\end{definition}

$\left|h_1\right|,\left|h_2\right|,\left|h_3\right|$实际
表明等距的晶面分别把基矢$\pm a_1$, $\pm a_2$, $\pm a_3$ 分割成多少个等份.
它们也是以$\left|a_1\right|,\left|a_2\right|,\left|a_3\right|$
为各轴的长度单位所求得的晶面截距的倒数值.如果晶面系和某一个轴平行,截距将为$\infty$,所以相应的指数将为0.

应用倒格矢可以简练地写出晶面系的方程式.下面我们验证晶面系$\left(h_1,h_2, h_3\right)$
中各晶面的方程可以写成

\begin{equation*}
    \begin{gathered}
        \left(h_1\boldsymbol{b}_1+h_2\boldsymbol{b}_2+h_3\boldsymbol{b}_3\right) \cdot \boldsymbol{x}=n \\
        (n=-\infty, \cdots,-1,0,1, \cdots,+\infty)
    \end{gathered}
\end{equation*}

方程的几何解释表明

\begin{equation*}
    h_1\boldsymbol{b}_1+h_2\boldsymbol{b}_2+h_3\boldsymbol{b}_3
\end{equation*}
是各面的共同法线方向,而且各面与原点的垂直距离为
\begin{equation*}
    \frac{|n|}{\left|h_1\boldsymbol{b}_1+h_2\boldsymbol{b}_2+h_3\boldsymbol{b}_3\right|} \text {. }
\end{equation*}

从而知道, $|n|=1,2,3, \cdots$顺序地表示,从通过原点的面算起的第一,第二,第三, $\cdots \cdots$晶面.
得到晶面之间的间距是
\begin{equation*}
    d=\frac{1}{\left|h_1\boldsymbol{b}_1+h_2\boldsymbol{b}_2+h_3\boldsymbol{b}_3\right|}
\end{equation*}
代入$x=\veca_1$,
就导出从原点两出的矢量$\boldsymbol{a}_1$端点处在
$n=h_1$的面上.这说明,第$h_1$个面通过$a_1$的端点,同样论证可用于另外两轴,可以证明,
$\boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$将为(1-11)中各面勒为$h_2, h_3$段,
从而验证了(1-11)所描述的正是米勒指数为$\left(h_1, h_2, h_3\right)$的晶面系.
表明，指数小的晶面系，晶面有较大的间距.这样的晶面也是原子比较密集的晶面
(因单位体积中原子数目是一定的,晶面愈稀疏,每个晶面上原子必定更多.常见的晶面正是这样的晶面).

我们知道,米勒指数原来是从米勒研究宏观晶体的表面的规律性中发展出来的.
宏观晶体外形的规则性是由于,一种晶体的外表面总是由某些具有特定方位的平面形成的.
米勒发现,如果选三个面的交线为轴,并用另一个面在它们上面的截距$a, b, c$作为沿各轴的长度单位,
则任意其它的面在轴上的截距的倒数成简单整数比例,称为有理指数定律.从以上的讨论看出,他的这
个发现反映了晶体原子排列的周期性（布拉维格子），同时也表明重要的实际
表面主要是由原子密集、间距大的晶面所构成的.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/HexagonalCrystalFaceSymbols20240822101301.jpg}
    \caption{六方晶体的晶面标志\label{fig:HexagonalCrystalFaceSymbols20240822101301}}
\end{figure}

对六方晶体,往往采用单胞的基矢——轴矢量来标志晶向和晶面.
除了垂直于六方面的一根轴矢量$\boldsymbol{c}$外,在六方面内,取三根互成$120^{\circ}$的矢量
$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$作为轴矢量.
由于平面上有3个向量,所以$l_1, l_2, l_3$不确定. 现加一限制条件: $l_1+l_2+l_3=0$.

\begin{definition}[][相似面]
    \textbf{similar surface}\quad
    在立方晶体中,
    $(1,0,0) 、(0,1,0) 、(0,0,1) 、(\overline{1},0,0) 、(0, \overline{1},0)$ 、
    $(0,0, \overline{1})$晶面在晶体中是完全等价的,用$\{1,0,0\}$表示.
    对等价的晶向,用$\langle1,0,0\rangle$表示。
\end{definition}
